यांत्रिकी (Mechanics)

 यांत्रिकी (Mechanics)

यांत्रिकी (Mechanics) अध्याय – NCERT आधारित सारांश

1. परिचय (Introduction):
यांत्रिकी भौतिकी की एक शाखा है, जिसमें वस्तुओं की गति और उन पर कार्य करने वाली बलों का अध्ययन किया जाता है। इसमें गति के नियम, ऊर्जा, शक्ति, गति का सजीव और निर्जीव वस्तुओं पर प्रभाव आदि विषय शामिल हैं।

2. प्रमुख उपविषय:

• सिस्टम ऑफ पार्टिकल्स एंड रोटेशनल मोशन (Systems of Particles and Rotational Motion):
• कणों का प्रणालियाँ, संवेग संरक्षण, केंद्रक द्रव्यमान (Center of Mass), संवेग संरक्षण के नियम, कठिन पिण्डों का घूर्णन, टॉर्क और कोणीय संवेग।
• गति के नियम (Laws of Motion):
• न्यूटन के तीन गति के नियम, जड़त्व, बल व संवेग, संवेग संरक्षण, घर्षण (फ्रिक्शन), बलों की समावर्तता, वृत्तीय गति में बल।

• कार्य, ऊर्जा एवं शक्ति (Work, Energy and Power):

  • कार्य-ऊर्जा प्रमेय, शक्ति, औसत व तात्क्षणिक शक्ति, सन्ग्रही और अपसन्ग्रही बल, ऊर्जा के संरक्षण के नियम।

• गुरुत्वाकर्षण (Gravitation):

  • न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम, केपलर के ग्रहों की गति के नियम, पृथ्वी का गुरुत्वीय त्वरण और उपग्रहों का गति विज्ञान।

• ठोषों की यांत्रिक गुण (Mechanical Properties of Solids):

  • प्रतिलक्षणता (Elasticity), यंग मापांक, बल्क मापांक, कतरन मापांक, तनाव- वृद्धि-रेखा (Stress-Strain Curve), हूक का नियम।

• द्रवों की यांत्रिक गुण (Mechanical Properties of Fluids):

  • दाब, पृष्ठ तनाव, विस्कोसिटी, बर्नूली प्रमेय आदि।

3. प्रमुख सूत्र एवं परिभाषाएँ:

विषय	मुख्य सूत्र/परिभाषा
संवेग	$p = m \times v$
बल	$F = m \times a$
कार्य	$W = F \cdot s \cdot \cos\theta$
शक्ति	$P = \frac{Work}{Time}$
गुरुत्व बल	$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
यंग मापांक	$Y = \frac{Stress}{Strain}$
केन्द्रक द्रव्यमान	$R = \frac{\sum m_ir_i}{\sum m_i}$

4. उपयोगिता:

यांत्रिकी के सिद्धांत इंजीनियरिंग, अंतरिक्ष अनुसन्धान, खेलों, मशीनों के डिजाइन, इत्यादि विषयों में अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।

5. संक्षिप्त सार (हिन्दी में):

• यांत्रिकी में पदार्थों की गति, बल, ऊर्जा व शक्ति का विस्तार से अध्ययन होता है।

• न्यूटन के गति के नियम, कार्य-ऊर्जा, संवेग संरक्षण, घर्षण, गुरुत्वाकर्षण, प्रतिलक्षणता आदि के सैद्धांतिक एवं संख्यात्मक उदाहरणों द्वारा व्याख्या की जाती है।

• यांत्रिकी की समझ छात्रों को आगामी कक्षाओं व प्रतियोगी परीक्षाओं में भी लाभदायक सिद्ध होती है।

• सिस्टम ऑफ पार्टिकल्स एंड रोटेशनल मोशन (Systems of Particles and Rotational Motion) – NCERT आधारित सारांश (हिंदी में)

  1. परिचय

  यह अध्याय उन वस्तुओं के व्यवहार का अध्ययन करता है जो अनेकों कणों (पार्टिकल्स) से मिलकर बने हैं और उनका आकार भी महत्वपूर्ण है। यानि, केवल एक बिंदु या पार्टिकल के बजाय, अब पूरे सिस्टम और उसके घूर्णन (रोटेशन) का अध्ययन।

  2. मुख्य बिंदु

  (a) केंद्रक द्रव्यमान (Centre of Mass)

  • किसी कण-प्रणाली या वस्तु का ऐसा बिंदु, जहाँ उसकी पूरी द्रव्यमान संपूर्ण रूप से संकेंद्रित मान सकते हैं।

  • यदि सभी बाहरी बल केंद्रक द्रव्यमान पर लगाए जाएँ, तो वस्तु की गति पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।

  • दो कणों के सिस्टम के लिए केंद्रक द्रव्यमान उस रेखा पर होता है जो दोनों को जोड़ती है, और दोनों के बीच कहीं स्थित रहता है.

  (b) संवेग संरक्षण (Conservation of Momentum)

  • यदि किसी सिस्टम पर कुल बाहरी बल शून्य है तो उसका कुल रैखिक संवेग (Linear Momentum) स्थिर रहता है।

  • यह नियम आंतरिक बलों के बावजूद लागू रहता है क्योंकि वे हमेशा एक-दूसरे के लिए विपरीत और समान होते हैं।

  (c) कठोर पिंड (Rigid Body) और रोटेशनल मोशन

  • वस्तु जिसमें कणों के बीच की दूरी कभी नहीं बदलती — उसे कठोर पिंड कहा जाता है।

  • जब कठोर पिंड एक अक्ष (Axis) के चारों ओर घूमता है, तो उसके प्रत्येक कण का मार्ग गोलाकार (सर्कुलर) होता है, लेकिन अलग-अलग त्रिज्या के साथ।

  • पूरी वस्तु का घूर्णन मात्रात्मक रूप से “अंगुलीय वेग” (Angular Velocity), “टॉर्क” (Torque) और “कोणीय संवेग” (Angular Momentum) द्वारा वर्णित किया जाता है13.

  (d) टॉर्क और कोणीय संवेग (Torque and Angular Momentum)

  • टॉर्क बल का घूर्णी समकक्ष है, जैसे बल किसी वस्तु को खींचता/धकेलता है वैसे टॉर्क उसे घुमाने की प्रवृत्ति देता है।

  • कोणीय संवेग रोटेशन का संवेग है—यह उस दिशा में चलता है, जिस दिशा में अंगुलीय वेग हो।

  (e) कठोर पिंड का संतुलन और विशेष अक्ष

  • यदि कठोर पिंड पर कोई नेट टॉर्क या नेट बाहरी बल नहीं है, तो वह संतुलन में होता है यानी उसकी गति और घूर्णन नहीं बदलते।

  • पिंड के उन अक्षों (Axis) की गणना की जाती है जिनके आस-पास घूर्णन आसान या कठिन होता है—घूर्णजड़त्व (Moment of Inertia) इन्हीं से संबंधित है45.

  3. महत्वपूर्ण सूत्र (Main Formulae)

  शीर्षक	सूत्र/परिभाषा
  केंद्रक द्रव्यमान	$R = \frac{\sum m_ir_i}{\sum m_i}$
  कुल संवेग	$P = M \cdot V_{CM}$
  टॉर्क	$\tau = r \times F$
  कोणीय संवेग	$L = I \cdot \omega$
  घूर्णजड़त्व	$I = \sum m_ir_i^2$
  संवेग संरक्षण	बाहरी बल शून्य हो, तो $\frac{dP}{dt} = 0$, यानि $P =$ constant

  4. सारांश व उपयोगिता

  • केंद्रक द्रव्यमान हमें पूरे सिस्टम की संक्षिप्त जानकारी देता है जहाँ बाहरी बल या टॉर्क लगने पर वस्तु की गति/घूर्णन को आसानी से समझा जा सकता है।

  • रोटेशनल मोशन, कोणीय वेग, टॉर्क, और घूर्णजड़त्व के नियमों का उपयोग इंजीनियरिंग, खेल, खगोल विज्ञान, और दैनिक जीवन के उपकरणों में किया जाता है.

  • इस अध्याय के सिद्धांत वस्तुओं के संतुलन, उनके घूमने और संवेग संरक्षण के नियमों को सुनियोजित रुप में समझने और इस्तेमाल में लाए जाते हैं।

गति एवं विराम – NCERT आधारित सारांश 

1. परिभाषाएँ

विराम (Rest):

• जब कोई वस्तु समय के साथ अपनी स्थिति में कोई परिवर्तन नहीं करती है, तो वह वस्तु विरामावस्था (Rest) या स्थिर अवस्था में मानी जाती है।

• उदाहरण: मेज पर रखी हुई पुस्तक, फर्श पर रखी कुर्सी, सड़क के किनारे खड़ा पेड़ या खंभा आदि।

गति (Motion):

• जब कोई वस्तु समय के साथ अपनी स्थिति में परिवर्तन करती है, तो वह गतिशील (Motion) या गति की अवस्था में मानी जाती है।

• उदाहरण: सड़क पर भागती कार, हवा में उड़ता विमान, तैरती मछली, पहाड़ी से लुढ़कती गेंद आदि।

2. सापेक्षता (Relativity) का महत्व

• गति और विराम सापेक्षिक (Relative) अवधारणाएँ हैं।

• कोई भी वस्तु, किसके सापेक्ष देख रहे हैं, उस पर निर्भर करती है कि वह गति में है या विराम में।

• उदाहरण: चलती ट्रेन में यात्री अपने साथ बैठे यात्री के सापेक्ष विराम में हैं, लेकिन ट्रेन के बाहर खड़े व्यक्ति के सापेक्ष गति में हैं।

3. मुख्य बिंदु

• गति का निर्धारण करने के लिए किसी निश्चित बिंदु (रैफरेंस/निर्देशक बिंदु) की आवश्यकता होती है।

• ब्रह्माण्ड में कोई भी वस्तु बिल्कुल निरपेक्ष (Absolute) विराम की अवस्था में नहीं हो सकती, क्योंकि पृथ्वी भी घूर्णन और परिक्रमण कर रही है। व्यवहार में, पृथ्वी को स्थिर मान लिया जाता है।

4. सारणी: गति और विराम का तुलनात्मक अध्ययन

स्थिति	परिभाषा	उदाहरण
विराम	वस्तु की स्थिति समय के साथ नहीं बदलती	मेज पर पुस्तक, दीवार
गति	वस्तु की स्थिति समय के साथ बदलती है	चलती कार, उड़ता हवाई जहाज़
सापेक्षता	एक ही वस्तु किसी के सापेक्ष गति में, तो किसी के सापेक्ष विराम में	ट्रेन में यात्री

5. संक्षिप्त निष्कर्ष

• गति एवं विराम दोनों ही अवधारणाएँ हमारी रोज़मर्रा की भौतिक घटनाओं की मूल बातें हैं।

• ये दोनों आपेक्षिक (Relative) शब्द हैं, जिनका निर्धारण हमारे देखने के बिंदु (Reference Point) और समय के साथ स्थिति के परिवर्तन पर निर्भर करता है।

• इनका अध्ययन यांत्रिकी (Mechanics) और गति के नियमों के लिए अत्यंत आवश्यक आधार है।

गति एवं गति के नियम (Laws of Motion) – NCERT आधारित सारांश 

1. परिचय

गति के नियम (Laws of Motion) भौतिकी के वह आधार हैं जिनसे यह समझा जाता है कि बल (Force) किसी वस्तु की गति को कैसे बदलता है। न्यूटन ने गति के तीन प्रमुख नियम दिए, जिनके आधार पर संपूर्ण शास्त्रीय यांत्रिकी (Classical Mechanics) टिकी है।

2. न्यूटन के गति के तीन नियम

(a) प्रथम नियम — जड़त्व का नियम (Law of Inertia)

• जब तक किसी वस्तु पर कोई बाहरी असंतुलित बल न लगाया जाए, वह अपनी विरामावस्था या एकसमान गति की अवस्था में रहती है।

• इसे जड़त्व (Inertia) का नियम भी कहते हैं, यानी वस्तु में सहजता से अपनी अवस्था बनाए रखने की प्रवृत्ति होती है।

(b) द्वितीय नियम — संवेग का नियम (Law of Momentum, Force Law)

• किसी वस्तु का संवेग परिवर्तन, उस पर लगाए गए बाहरी बल के समानुपाती होता है और बल की दिशा में होता है।

• सूत्र : $F=m\times a$

  • जहाँ $F$ = बल, $m$ = द्रव्यमान, $a$ = त्वरण (Acceleration)।

• यह नियम बल की गणना करता है तथा गति परिवर्तन और बल के बीच संबंध बताता है।

(c) तृतीय नियम — क्रिया-प्रतिक्रिया का नियम (Action-Reaction Law)

• प्रत्येक क्रिया के बराबर और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।

• उदाहरण : जब हम दीवार को धक्का देते हैं, तो दीवार भी हमें बराबर और विपरीत दिशा में बल लगाती है।

3. अन्य महत्वपूर्ण बिंदु

• घर्षण (Friction): दो सतहों के संपर्क में आने पर गति का विरोध करने वाला बल।

• संवेग (Momentum): किसी वस्तु की गतिशीलता का माप, $p=m\times v$।

• बल (Force): धक्का या खिंचाव जो किसी वस्तु की गति, दिशा या आकार बदल सकता है।

• जड़त्व (Inertia): द्रव्यमान के बढ़ने के साथ जड़त्व भी बढ़ता है, अर्थात भारी वस्तु की गति अवस्था बदलना कठिन होता है।

• निष्कर्ष: गति के नियम सभी प्रकार की यांत्रिक समस्याओं, मशीनों के डिजाइन, और अंतरिक्ष व इंजीनियरिंग के क्षेत्रों में अत्यंत उपयोगी हैं।

4. मुख्य सूत्र

विषय	मुख्य सूत्र
बल	$F=m\times a$
संवेग	$p=m\times v$
टकराव (Impulse)	$J=F\times \mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }p$
क्रिया-प्रतिक्रिया	$F_{AB}=-F_{BA}$

5. संक्षिप्त सार (हिन्दी में):

• गति के तीन नियम यह बताते हैं कि किसी वस्तु की गति अवस्था और उसमें परिवर्तन का कारण क्या है।

• बाहरी बल, गति तथा दिशा में परिवर्तन लाता है।

• प्रत्येक क्रिया की बराबर और विपरीत प्रतिक्रिया अवश्य होती है।

• इन नियमों के आधार पर वाहनों, मशीनों, खेल उपकरणों आदि की संरचना व गति का विश्लेषण किया जाता है।

कार्य, ऊर्जा एवं शक्ति (Work, Energy and Power) – NCERT आधारित सारांश 

1. कार्य (Work)

• जब किसी वस्तु पर बल लगाया जाता है और वह वस्तु बल की दिशा में विस्थापित होती है, तो किया गया कार्य कहलाता है।

• कार्य $W = F \cdot s \cdot \cos\theta$
  जहाँ $F$ = बल, $s$ = विस्थापन, $\theta$ = बल और विस्थापन के बीच कोण।

• यदि विस्थापन बल की दिशा में है, तो कार्य धनात्मक; विपरीत दिशा में है, तो कार्य ऋणात्मक होता है।

प्रकार:

• धनात्मक कार्य: दिशा समान (जैसे लिफ्ट को ऊपर उठाना)

• ऋणात्मक कार्य: दिशा विपरीत (जैसे गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध कार्य)

• शून्य कार्य: बल और विस्थापन लंबरूप (जैसे चक्कर लगाता पिंड).

2. ऊर्जा (Energy)

• कार्य करने की क्षमता को ऊर्जा कहते हैं।

• ऊर्जा की इकाई: जूल (Joule), $1\, जूल = 10^7$ अर्ग।

• मुख्य प्रकार:

  • गतिज ऊर्जा (Kinetic Energy): चलती वस्तु की ऊर्जा
    $KE = \frac{1}{2}mv^2$

  • स्थितिज ऊर्जा (Potential Energy): स्थिति के कारण संचित ऊर्जा
    गुरुत्वजन्य स्थिति ऊर्जा – $PE = mgh$

• ऊर्जा संरक्षण का नियम: ऊर्जा ना उत्पन्न की जा सकती है, ना नष्ट। इसका केवल रूपांतरण ही संभव है.

3. शक्ति (Power)

• किसी कार्य को करने की दर (Rate) को शक्ति कहते हैं।

• शक्ति $P = \frac{Work}{Time}$

• इकाई: वाट (Watt), $1\, वॉट = 1\, जूल/सेकंड$.

4. महत्वपूर्ण सूत्र/सैद्धांतिक बिंदु

विषय	मुख्य सूत्र/टिप्पणी
कार्य	$W = F \cdot s \cdot \cos\theta$
गतिज ऊर्जा	$KE = \frac{1}{2}mv^2$
स्थितिज ऊर्जा	$PE = mgh$
शक्ति	$P = \frac{W}{T}$
ऊर्जा संरक्षण	कुल ऊर्जा संरक्षित, केवल रूपांतरण संभव
1 जूल	$1\, \text{J} = 10^7\, \text{erg}$

5. कार्य-ऊर्जा प्रमेय (Work-Energy Theorem)

• किसी निकाय पर किये गए कुल कार्य, उसके गतिज ऊर्जा में संसूचित परिवर्तन के बराबर होता है।

• $W_{\text{total}} = \Delta KE$.

6. अनुप्रयोग एवं उदाहरण

• वाहन, मशीनें, खेल, और इंजीनियरिंग संरचनाओं में शक्ति और ऊर्जा महत्त्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं।

• ऊर्जा संरक्षण के नियम जीवन के हर क्षेत्र: जैसे पेंडुलम, स्प्रिंग, इलेक्ट्रिकल डिवाइसेस आदि में लागू।

7. संक्षिप्त निष्कर्ष

• कार्य, ऊर्जा व शक्ति में परस्पर संबंध है: कार्य करने के लिए ऊर्जा की आवश्यकता होती है और कार्य करने की दर शक्ति के रूप में मापी जाती है।

• बल, विस्थापन, ऊर्जा के प्रकार (गतिज, स्थितिज), ऊर्जा-संरक्षण और शक्ति गणना – इस अध्याय के मूल स्तंभ हैं। इनका व्यवहारिक व सैद्धांतिक ज्ञान प्रतियोगी परीक्षाओं और दैनिक जीवन दोनों में उपयोगी है

गुरुत्वाकर्षण (Gravitation) – NCERT आधारित संक्षिप्त सारांश 

1. न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम (Newton’s Law of Universal Gravitation)

• परिभाषा: ब्रह्माण्ड का प्रत्येक कण दूसरे कण को अपनी ओर आकर्षित करता है। यह आकर्षण बल उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के अनुक्रमानुपाती तथा उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

• सूत्र:

  $$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

  जहाँ $F$ = गुरुत्वाकर्षण बल,
  $G$ = गुरुत्वाकर्षण नियतांक,
  $m_1, m_2$ = दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान,
  $r$ = उनके बीच की दूरी।

• इसे "प्रतिलोम वर्ग नियम" (Inverse Square Law) भी कहा जाता है।

2. केपलर के ग्रहों की गति के नियम (Kepler’s Laws of Planetary Motion)

• प्रथम नियम (दीर्घवृत्त का नियम): प्रत्येक ग्रह सूर्य के चारों ओर एक दीर्घवृत्तीय कक्षा में घूमता है, सूर्य दीर्घवृत्त के एक फोकस (nucleus) पर स्थित रहता है।

• द्वितीय नियम (समान क्षेत्रफल का नियम): ग्रह को सूर्य से मिलाने वाली रेखा समान समय में समान क्षेत्रफल तय करती है। ग्रह जब सूर्य के निकट होता है तो तेजी से चलता है, जब दूर होता है तो धीमा चलता है।

• तृतीय नियम (अवधि-वर्ग नियम): सूर्य के चारों ओर ग्रह के परिक्रमण काल का वर्ग सूर्य से उसकी औसत दूरी के घन के समानुपाती होता है।
  अर्थात्:

  $$T^2 \propto r^3$$

  जहाँ $T$ = परिक्रमण काल, $r$ = औसत दूरी।

3. पृथ्वी का गुरुत्वीय त्वरण (Acceleration due to Gravity - g)

• परिभाषा: जिस त्वरण से पृथ्वी किसी वस्तु को अपनी ओर आकर्षित करती है उसे गुरुत्वीय त्वरण (g) कहते हैं।

• पृथ्वी की सतह पर $g$ का मान लगभग $9.8\,m/s^2$ होता है।

• $g$ का मान ध्रुवों पर अधिक और विषुवत रेखा (equator) पर सबसे कम होता है। पृथ्वी के केन्द्र में $g = 0$ होता है।

• सूत्र:

  $$g = G \frac{M}{r^2}$$

  जहाँ $M$ = पृथ्वी का द्रव्यमान, $r$ = पृथ्वी के केन्द्र से दूरी।

4. उपग्रहों का गति विज्ञान (Satellite Motion)

• कृत्रिम उपग्रह: पृथ्वी के चारों ओर निर्धारित त्रिज्या की वृत्ताकार या दीर्घवृत्ताकार कक्षा में चलते हैं।

• यदि उपग्रह कक्षा की त्रिज्या $r$ हो और वह $T$ समय में परिक्रमा करता है, तो उसकी गति:

  $$v = \frac{2\pi r}{T}$$

• भूस्थैतिक उपग्रह (Geostationary Satellite): पृथ्वी के घूर्णन समय (24 घंटे) के बराबर परिक्रमा काल रखने वाला उपग्रह, पृथ्वी के एक ही बिंदु के ऊपर स्थित रहता है।

• ग्रह और उपग्रहों का परिक्रमण: उपग्रहों पर भी न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम और केप्लर के नियम लागू होते हैं।

5. मुख्य सूत्रों की सारणी

विषय	सूत्र/टिप्पणी
गुरुत्व बल	$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
गुरुत्वीय त्वरण	$g = G \frac{M}{r^2}$
केप्लर तृतीय नियम	$T^2 \propto r^3$
उपग्रह की कक्षीय चाल	$v = \frac{2\pi r}{T}$

6. महत्वपूर्ण तथ्य और अनुप्रयोग

• इन नियमों का प्रयोग उपग्रह प्रक्षेपण, ग्रहों की भविष्यवाणी, अंतरिक्ष विज्ञान, GPS, सीधा प्रसारण आदि में होता है।

• केपलर के नियम और न्यूटन के नियम, खगोलीय पिंडों की गति समझने के लिए मौलिक हैं।

ठोसों की यांत्रिक गुण (Mechanical Properties of Solids) – NCERT आधारित सारांश 

1. प्रतिलक्षणता (Elasticity)

• यह वह गुण है जिससे कोई ठोस जब बल लगाने पर विकृत होता है और बल हटाने पर अपनी मूल आकार और आकृति में वापस आ जाता है।

• परफेक्ट इलास्टिक बॉडी जब पूर्ण रूप से अपनी पुरानी स्थिति पाता है (जैसे क्वार्ट्ज), जबकि रबर आदि केवल आंशिक रूप से लौटते हैं।

2. यंग मापांक (Young's Modulus)

• यह दीर्घाकार (लंबाई में) तनाव और प्रसरण का अनुपात है।

• सूत्र:

  $$Y = \frac{\text{तनी तनाव (Longitudinal Stress)}}{\text{तनी प्रसरण (Longitudinal Strain)}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$$

• इकाई: न्यूटन प्रति वर्ग मीटर (N/m²)।

3. बल्क मापांक (Bulk Modulus)

• यह किसी ठोस के आयतन में होने वाले परिवर्तन (संपीड़न या विस्तार) का मापांक है।

• सूत्र:

  $$B = -\frac{\Delta p}{\Delta V/V}$$

  जहाँ, $\Delta p$ = परिवर्तनशील दाब, $\Delta V$ = आयतन में परिवर्तन।

• इसका मान ठोस > द्रव > गैस रहता है।

4. कतरन मापांक (Shear Modulus/Modulus of Rigidity)

• जब ठोस के एक सिरे पर बल लगाकर उसे समांतर दिशा में विस्थापित किया जाता है तो कतरन उत्पन्न होती है।

• सूत्र:

  $$G = \frac{\text{कतरन तनाव (Shearing Stress)}}{\text{कतरन प्रसरण (Shearing Strain)}} = \frac{F/A}{\theta}$$

  $\theta$ = कतरन कोण।

• कतरन मापांक भी इकाई: N/m² में मापा जाता है।

5. तनाव-वृद्धि-रेखा (Stress-Strain Curve)

• Stress-Strain Graph दिखाता है कि ठोस बढ़ते तनाव के साथ कैसे प्रतिक्रिया करता है।

  • O–A (प्रारंभिक सीधा क्षेत्र): हुक का नियम लागू; तनाव और प्रसरण में अनुक्रमिक संबंध।

  • B (Yield Point): अधिकतम तनाव, जिसके बाद ठोस स्थायी रूप से विकृत हो जाता है।

  • D (Breaking Point): ठोस टूट जाता है।

• इस वक्र से पदार्थ की मजबूत (Strength), लचीलापन (Elasticity), डक्टिलिटी और कठोरता (Toughness) आदि का आंकलन किया जाता है।

6. हूक का नियम (Hooke's Law)

• छोटे विकृतियों के लिए: तनाव, प्रसरण के अनुपाती होता है।

• सूत्र:

  $$\text{Stress} \propto \text{Strain}$$ $$\text{Stress} = E \times \text{Strain}$$

  $E$ – प्रत्यास्थता का मापांक (Modulus of Elasticity) – जो Young's modulus, Bulk modulus या Shear modulus हो सकता है।

• यह नियम केवल इलास्टिक लिमिट (Elastic Limit) तक ही लागू है, उसके बाद स्थायी विकृति (Plastic Deformation) आती है।

7. मुख्य सूत्रों की सारणी

विषय	सूत्र
यंग मापांक	$Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$
बल्क मापांक	$B = -\frac{\Delta p}{\Delta V/V}$
कतरन मापांक	$G = \frac{F/A}{\theta}$
हूक का नियम	$\text{Stress} = E \times \text{Strain}$

8. संक्षिप्त निष्कर्ष व अनुप्रयोग

• ठोसों की इलास्टिकिटी का ज्ञान इंजीनियरिंग, निर्माण, मशीन डिजाइन, और जीवन के अनेक क्षेत्रों में अत्यंत महत्वपूर्ण है।

• इससे हम सामग्री के चयन, पुल–भवन, मशीन–संरचना आदि के लिए मजबूत, लचीली व सुरक्षित वस्तुएँ चुन सकते हैं।

द्रवों की यांत्रिक गुण (Mechanical Properties of Fluids) – NCERT आधारित संक्षिप्त सारांश 

1. दाब (Pressure)

• परिभाषा: दाब वह बल है जो द्रव अथवा गैस की इकाई क्षेत्रफल पर लंबवत लगाया जाता है।

• सूत्र:

  $$Pressure (P) = \frac{Force (F)}{Area (A)}$$

• द्रव का दाब: गहराई पर स्थित बिंदु पर द्रव का दाब

  $$P = h\rho g$$

  यहाँ $h$ = गहराई, $\rho$ = द्रव का घनत्व, $g$ = गुरुत्वीय त्वरण.

• विशेषताएँ: दाब द्रव के सभी दिशाओं में समान रूप से कार्य करता है। द्रव के दाब का प्रभाव बड़े पैमाने पर जल विज्ञान, हाइड्रोलिक मशीनों में देखा जाता है।

2. पृष्ठ तनाव (Surface Tension)

• परिभाषा: द्रव की सतह का वह गुण जिससे वह विरामावस्था में अपनी सतह को संकुचित करने का प्रयास करता है, पृष्ठ तनाव कहलाता है।

• सूत्र:

  $$T = \frac{F}{l}$$

  जहाँ $F$ = बल (surface force), $l$ = लंबाई जिसपर बल लगाया गया।

• कारण: यह द्रव के अणुओं के मध्य आकर्षण के कारण उत्पन्न होता है.

• अनुप्रयोग: कीट पतंगे जल की सतह पर चल सकते हैं, छोटे-छोटे बूँदों का गोलाकार बनना आदि पृष्ठ तनाव के कारण है।

3. विस्कोसिटी (Viscosity/श्यानता)

• परिभाषा: द्रव की वह प्रवृत्ति जिससे वह अपने अंदर प्रवाह की सापेक्ष चाल का विरोध करता है।

• अधिक विस्कोसिटी = गाढ़ा द्रव (जैसे शहद), कम विस्कोसिटी = पतला द्रव (जैसे पानी)।

• न्यूटन का विस्कोसिटी नियम:

  $$\text{Shearing Stress} = \eta \left( \frac{dv}{dx} \right)$$

  $\eta$ = विस्कोसिटी गुणांक

• टर्मिनल वेलोसिटी: जब किसी द्रव में वस्तु पर गुरुत्व और विस्कोस बल संतुलित हो जाते हैं, तब वस्तु एक नियत चाल से गिरती है।

4. बर्नौली प्रमेय (Bernoulli's Theorem)

• परिभाषा: किसी असंपीड्य, अश्यान (ideal) द्रव के लिए, प्रवाह की किसी रेखा पर दाब ऊर्जा, गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग नियत रहता है।

• गणितीय रूप:

  $$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{नियतांक}$$

  $P$ = दाब, $\rho$ = घनत्व, $v$ = वेग, $h$ = ऊँचाई.

• अनुप्रयोग: हवाई जहाज़ के पंखों पर, स्प्रे बोतल आदि में बर्नौली का सिद्धांत कार्य करता है।

5. महत्वपूर्ण बिंदु व अनुप्रयोग

• लॉ ऑफ फ्लोटेशन (Law of Floatation): वस्तु कब तैरेगी? जब उसके द्वारा विस्थापित द्रव का भार, वस्तु के भार के बराबर होगा।

• व्यापक उपयोग: इंजीनियरिंग, चिकित्सा, हाइड्रोलिक मशीन, एविएशन, दैनिक जीवन के अनेक क्षेत्रों में उपरोक्त सभी सिद्धांतों का उपयोग होता है.

विषय	परिभाषा/सूत्र/बिंदु
द्रव का दाब	$P = h \rho g$
पृष्ठ तनाव	$T = \frac{F}{l}$
विस्कोसिटी	$\text{Shearing Stress} = \eta \frac{dv}{dx}$
बर्नौली प्रमेय	$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{const.}$